Gelandang serang Timnas Norwegia itu mengeksekusi tendangan bebas dengan kaki kirinya yang melengkung melewati pagar hidup Burnley untuk bersarang ke pojok kiri atas gawang yang tak terjangkau kiper Nick Pope pada menit ke-30.
Ini adalah gol pertama Odegaard untuk Arsenal sejak didatangkan secara permanen dari Real Madrid, menyusul peminjaman yang terbilang sukses semusim lalu.
Arsenal nyaris menggandakan keunggulan menjelang turun minum saat umpan tarik Nicolas Pepe disambut tembakan sentuhan pertama Emile Smith Rowe, tetapi sayang bola masih melayang tipis di atas mistar gawang.
Baca juga: Liverpool terkam Crystal Palace dibantu rekor unik Sadio Mane
Lima menit memasuki babak kedua, Burnley berpeluang menyamakan kedudukan namun tembakan Johann Berg Gudmundsson bisa dihadang Gabriel Magalhaes. Bole muntah kemudian disambar Ashley Westwood, tetapi terlalu lemah sehingga mudah dijinakkan kiper Aaron Ramsdale.
Pada menit ke-59, Ramsdale melakukan penyelamatan apik dengan menepis bola tembakan kaki kanan Maxwell Cornet ke atas mistar gawang sehingga menjaga keunggulan Arsenal.
Pada menit ke-68, wasit Anthony Taylor awalnya menunjuk titik putih setelah Matej Vydra berusaha mengejar umpan balik lemah Ben White sehingga terpaksa dijatuhkan oleh Ramsdale.
Namun, setelah diinstruksikan meninjau tayangan ulang pada monitor VAR tepi lapangan, Taylor menganulir keputusannya tersebut.
Baca juga: VAR paksa Manchester City lawan Southampton seri tanpa gol
Burnley membuat satu peluang lain pada injury time melalui umpan silang berbahaya kiriman Cornet, tetapi sayang sundulan Jay Rodriguez terlalu deras dan melambung di atas mistar gawang sehingga memastikan Arsenal meraih dua kemenangan secara beruntun.
Arsenal yang dua pekan lalu berada di dasar klasemen kini merangsek naik ke urutan ke-12 dengan koleksi enam poin, sedangkan Burnley (1) yang belum pernah menang melorot ke posisi ke-19, demikian catatan laman resmi Liga Inggris.
Arsenal selanjutnya menjamu tim strata ketiga AFC Wimbledon di Emirates untuk laga putaran ketiga Piala Liga Inggris pada Selasa pekan depan, sebelum menghadapi Tottenham Hotspur di tempat yang sama empat hari kemudian.
Burnley juga tampil pada putaran ketiga Piala Liga Inggris dengan menghadapi klub divisi empat Rochdale di Turf Moor Rabu pekan depan sebelum bertandang ke markas Leicester City empat hari setelahnya.
Baca juga: 10 pemain Brentford sukses curi kemenangan atas Wolves
